Ramai pelajar yang belajar matematik yang lebih tinggi pada tahun-tahun senior mereka mungkin tertanya-tanya: di mana persamaan pembezaan (DE) digunakan dalam praktik? Sebagai peraturan, masalah ini tidak dibincangkan dalam kuliah, dan guru segera beralih ke penyelesaian DE tanpa menjelaskan kepada pelajar mengenai penerapan persamaan pembezaan dalam kehidupan nyata. Kami akan berusaha mengisi jurang ini.
Mari mulakan dengan menentukan persamaan pembezaan. Jadi, persamaan pembezaan adalah persamaan yang menghubungkan nilai terbitan fungsi dengan fungsi itu sendiri, nilai pemboleh ubah bebas dan beberapa nombor (parameter).
Kawasan yang paling biasa di mana persamaan pembezaan digunakan adalah penerangan matematik fenomena alam. Mereka juga digunakan dalam menyelesaikan masalah di mana mustahil untuk menjalin hubungan langsung antara beberapa nilai yang menggambarkan suatu proses. Masalah seperti itu timbul dalam bidang biologi, fizik, ekonomi.
Dalam biologi:
Model matematik pertama yang bermakna yang menggambarkan komuniti biologi adalah model Lotka - Volterra. Ia menggambarkan populasi dua spesies yang saling berinteraksi. Yang pertama dari mereka, yang disebut pemangsa, jika tidak ada yang kedua, mati menurut undang-undang x ′ = –ax (a> 0), dan yang kedua - mangsa - jika tidak ada pemangsa berlipat ganda selamanya mengikut undang-undang Malthus. Interaksi kedua-dua jenis ini dimodelkan seperti berikut. Mangsa mati dengan kadar yang sama dengan jumlah pertemuan pemangsa dan mangsa, yang dalam model ini dianggap sebanding dengan ukuran kedua-dua populasi, iaitu sama dengan dxy (d> 0). Oleh itu, y ′ by - dxy. Pemangsa membiak dengan kadar yang sebanding dengan bilangan mangsa yang dimakan: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistem persamaan
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = oleh - dxy, (2)
mangsa pemangsa yang menggambarkan populasi sedemikian disebut sistem Lotka-Volterra (atau model).
Dalam fizik:
Undang-undang kedua Newton boleh ditulis dalam bentuk persamaan pembezaan
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), di mana m adalah jisim badan, x adalah koordinatnya, F (x, t) adalah daya yang bertindak pada badan dengan koordinat x pada waktu t. Penyelesaiannya adalah lintasan badan di bawah tindakan daya yang ditentukan.
Dalam bidang ekonomi:
Model pertumbuhan pengeluaran semula jadi
Kami akan menganggap bahawa beberapa produk dijual pada harga tetap P. Biarkan Q (t) menunjukkan jumlah produk yang dijual pada waktu t; maka pada masa ini pendapatan sama dengan PQ (t). Biarkan sebahagian daripada pendapatan yang ditentukan dibelanjakan untuk pelaburan dalam pengeluaran produk yang dijual, iaitu
I (t) = mPQ (t), (1)
di mana m adalah kadar pelaburan - bilangan tetap, dan 0
